Projet de recherche P6/02 (Action de recherche P6)
Aujourd’hui une voie importante en science fondamentale est l’étude des systèmes non linéaires et la présence de comportements complexes. De tels systèmes sont caractérisés par plusieurs entités interagissantes comme en physique macroscopique ou des systèmes composés de plusieurs particules microscopiques présentent des comportements collectifs et non linéaires comme des transitions de phase ou des propriétés de transport sous des conditions de non-équilibre. Comme point de départ une telle étude requiert une description microscopique en termes de particules interagissantes et l’étape suivante est de déduire des propriétés collectives et de transport par des méthodes mathématiques.
De nouveaux défis sont apparus récemment dans ce domaine, en ce qui concerne la compréhension de la dynamique et des fluctuations dans des conditions de non-équilibre. Pour progresser dans ce domaine un large éventail de connaissances sera requis, d’une part dans la théorie du chaos et des systèmes intégrables et d’autre part dans les processus stochastiques et la mécanique statistique.
En effet, ces différents systèmes sont régis par une dynamique microscopique hamiltonienne, ce qui devrait nous permettre de déduire des propriétés d’évolution dans le temps. Ces systèmes diffèrent les uns des autres par le comportement de leurs trajectoires, celles-ci peuvent être périodiques ou quasi-périodiques comme c’est souvent le cas en mécanique céleste, ou apparaître sous forme de fluctuations comme en mécanique statistique et en théorie des matrices aléatoires. Ces fluctuations peuvent être décrites comme des mesures de probabilités invariantes. Le fait est que ces mesures invariantes sont bien connues à l’équilibre mais essentiellement inconnues dans des états de non-équilibre. Un problème célèbre dans ce contexte est la dérivation de propriétés de transports collectifs tels que la conduction de chaleur et la loi de Fourier et la compréhension des fluctuations correspondantes. Dans ce contexte, des relations de grandes déviations sont à l’étude actuellement sous les noms de « théorème de fluctuations » et de « théorème du travail en régime de non-équilibre ». Ces relations de grandes déviations jouent un rôle fondamental dans la caractérisation des mesures invariantes des états stationnaires de non-équilibre. La théorie des systèmes dynamiques et la compréhension des trajectoires des particules du système devraient contribuer à la découverte de ces méthodes invariantes.
Dans la même ligne, l’étude des modèles matriciels et des matrices aléatoires est un domaine très vivant et important de la recherche qui établit des ponts entre divers domaines de la physique théorique, des mathématiques et de la statistique et qui établit des liens très profonds avec plusieurs problèmes, par exemple avec la combinatoire, la probabilité combinatoire liée à la mécanique statistique, la théorie des nombres, les modèles de croissances et de pavages aléatoires et les questions de technologie de la communication.
La question majeure est d’examiner la densité moyenne du spectre pour des matrices aléatoires de grande taille (satisfaisant à certaines conditions de symétrie) et leurs fluctuations autour de cette distribution d’équilibre. Ces distributions de probabilités pour le spectre de matrices aléatoires sont décrites par des déterminants de Fredholm des noyaux. Ces noyaux limites dépendent de régimes différents (changement d’échelles) menant à des comportements statistiques différents près du bord du spectre, près d’un vide dans le spectre ou dans le « gros » du spectre. Des comportements statistiques intéressants et nouveaux sont apparus et sont liés à des équations non-linéaires (équations de Painlevé) et des équations aux dérivées partielles non-linéaires nouvelles ; de plus ces distributions revêtent toutes un caractère « universel » au sens que la limite ne dépend que des propriétés grossières de la matrice comme des conditions de symétrie. Certains de ces modèles matriciels aléatoires sont étroitement liés à l’énergie libre et l’équation de Yang-Baxter pour des modèles de mécanique statistique (Six-Vertex Models Impenetrable Bose gas,etc…)
Dyson a introduit de la dynamique dans les modèles de matrices aléatoires qui reflètent des paramètres physiques évoluant lentement ; le spectre se comporte alors comme des grands systèmes de mouvements browniens séparés les uns des autres par une force de Coulomb. Le comportement de ces diffusions de dimension infinie près du point critique (bord, vide, etc…) donnent lieu à des transitions de phase intéressantes que nous comptons étudier du point de vue de l’asymptotique, des probabilités de transition et des grandes déviations. La méthodologie consiste à formuler la question en termes du problème de Riemann-Hilbert, ce qui nous permet l’utilisation de méthodes du col qui ont été développées les dix dernières années. L’utilisation des équations intégrables (équations de Korteweg-deVries,…) et de l’algèbre de Virasoro (liées aux modèles matriciels sous-jacents) conduit à une méthode très efficace pour trouver les équations différentielles des probabilités de transition.
En relation avec les travaux mentionnés ci-dessus, les théories quantiques à géométrie non commutative ont retenu toute l’attention. Plusieurs approches simples ont été considérées basées sur les déformations de relation de commutation des opérateurs de position et du moment. Dans le contexte des systèmes quantiques de Wigner (WQS), cette approche est plus fondamentale. Celle-ci est basée essentiellement sur le fait que les équations d’Hamilton et les équations d’Heisenberg sont identiques comme équations d’opérateurs dans les espaces des états (espaces d’Hilbert), donnant lieu à certaines conditions de compatibilité. Cette approche conduit, par exemple pour l’oscillateur, à des relations avec les super-algèbres de Lie ; en effet les conditions de compatibilité (souvent des identités triples entre anti-commutateurs) ont une solution naturelle en termes de super-algèbres de Lie.
Les thèmes de recherche principaux sont les suivants :
1°) le spectre de matrices aléatoires, comportement critique et transition de phase
2°) théorie du transport et des fluctuations
3°) système dynamique quantique, entropie dynamique et méthodes semi-classiques
4°) mécanique statistique de systèmes complexes dissipatifs, théorie du transport et relaxation dans les systèmes dynamiques hamiltoniens
5°) intégrabilité et non-intégrabilité des systèmes hamiltoniens, symétries maîtresses, équations de KdV à dispersion nulle et extension de la distribution de Tracy-Widom.
Ce sont des domaines de recherche très vierges, ayant acquis visibilité et reconnaissance internationales.
Trois grands projets européens visent cette problématique, un projet de l’Union européenne (ENIGMA – UCL/KUL) et deux projets de la « European Science Foundation » (MISGAM – UCL/KUL et STOCHDYN – ULB). L’objectif de ce projet est de constituer un réseau profitant de la grande expertise dans ce domaine en Belgique en vue de créer une force permettant de faire des progrès significatifs dans ces domaines d’avenir.
Cette équipe contient des chercheurs des départements de mathématique et physique de quatre universités : Jean Bricmont, Pierre Bieliavsky, Luc Haine, Philippe Ruelle, Pierre Van Moerbeke (UCLouvain), Pierre Gaspard (Université Libre de Bruxelles), Mark Fannes, Arnoldus Kuijlaars, Christian Maes et Walter Van Assche (KULeuven) et Joris Van der Jeugt (Universiteit Gent). Ces équipes fournissent des talents complémentaires dans un environnement inter-disciplinaire mais ayant néanmoins des objectifs communs.
