Onderzoeksproject P6/02 (Onderzoeksactie P6)
Een belangrijke trend in het hedendaagse fundamenteel onderzoek is de studie van niet-lineaire systemen en het optreden van complex gedrag. Zulke systemen worden gekarakteriseerd door een groot aantal interagerende deeltjes zoals in macroscopische fysica waar systemen die opgebouwd zijn uit veel microscopische deeltjes collectieve en nonlineaire fenomenen ondergaan zoals fase-overgangen en transport eigenschappen onder niet-evenwichts voorwaarden. Als vertrekpunt vereist zulk een studie een microscopische beschrijving in de vorm van interagerende deeltjes. De volgende stap is om de collectieve en transport eigenschappen af te leiden met wiskundige methoden.
In dit gebied zijn recent nieuwe uitdagingen verschenen betreffende het begrip van de dynamica en de fluctuaties in niet-evenwichts voorwaarden. Om vooruitgang te kunnen maken is een brede waaier van kennis vereist van de theorie van chaotische en integreerbare systemen tot de theorie van stochastische processen en statistische mechanica. Immers, de verschillende systemen worden beschreven door een microscopische Hamiltoniaanse dynamica waarvan we de eigenschappen en tijdsevolutie willen afleiden. Deze systemen verschillen in het gedrag van hun trajectorieen: deze kunnen periodiek zijn, quasi-periodiek zoals vaak het geval is in de hemelmechanica, of verschijnen in de vorm van fluctuaties zoals in statistische mechanica en random matrix theorie. Deze fluctuaties worden beschreven door middel van invariante kansmaten. Het is het geval dat zulke invariante maten in evenwicht goed bekend zijn maar grotendeels onbekend in niet-evenwichts toestanden. Een beroemd probleem in deze context is het afleiden van collectieve transport eigenschappen zoals warmtetransport en de Fourierwet en het begrip van de overeenkomstige fluctuaties. In dit verband worden tegenwoordig grote afwijkingen bestudeerd onder de namen “fluctuation theorem” en “non-equilibrium work theorem”. Deze grote afwijkingen spelen een fundamentele rol in de karakterisering van de invariante maat van niet-evenwichts toestanden. Het begrip van deze invariante maten komt van de theorie van dynamische systemen en een preciese kennis van de trajectorieen die gevolgd worden door de deeltjes in het systeem.
Op een vergelijkbare wijze is de studie van matrixmodellen en random matrices een uiterst levendig en belangrijk onderzoeksdomein dat verschillende gebieden uit de theoretische fysica, wiskunde en statistiek verbindt. Het heeft verrassend diepe verbanden met een veelheid van problemen zoals met combinatoriek, combinatorische kansrekening in statistische mechanica, getaltheorie, random groei en random vlakvullingen, en vraagstukken uit de communicatietheorie.
Het belangrijkste probleem is het onderzoek naar de verwachte dichtheid van het spectrum van grote random matrices (met zekere symmetrie voorwaarden) en de fluctuaties rond deze evenwichtsverdeling. De kansverdelingen voor het spectrum van random matrices worden mooi beschreven door Fredholm determinanten van kernen. De limieten van de kernen hangen af van de verschillende toestanden (schalingen) en dit leidt tot verschillend statistisch gedrag rond de rand van het spectrum, rond een gat in het spectrum of in het inwendige van het spectrum. Interessant en nieuw statistisch gedrag verschijnt hierbij die verbant houden met niet-lineaire vergelijkingen (Painleve vergelijkingen) en nieuwe niet-lineaire partiele differentiaalvergelijkingen. Bovendien lijken ze allemaal “universeel” te zijn in de zin dat de limiet alleen afhangt van de grove karakteristieken van de matrices, zoals de symmetrie eigenschappen. Sommige random matrix modellen zijn nauw verwant met de vrije energie en de Yang-Baxter vergelijking van modellen uit de statistische mechanica (six vertex model, ondoordringbaar Bose gas, enz..)
Dyson introduceerde dynamica in de random matrix modellen om rekening te houden met langzaam varierende fysische parameters. Het spectrum gedraagt zich dan als een groot systeem van Brownse bewegingen die elkaar afstoten volgens een Coulomb kracht. Het gedrag van dit soort oneindig-dimensionale diffusies rond kritieke punten (rand, gat, enz.) vertoont opmerkelijke faseovergangen die we wensen te bestuderen vanuit het gezichtspunt van asymptotiek, overgangswaarschijnlijkheden en grote afwijkingen. De werkwijze bestaat uit een formulering van een Riemann-Hilbert probleem, hetgeen ons in staat stelt om de krachtige steilste afdalingsmethode die de laatste tien jaar is ontwikkeld, te gebruiken. Het toepassen van integreerbare vergelijkingen (Korteweg-de Vries vergelijkingen,…) en van de Virasoro algebra die samenhangt met het onderliggende matrix model is een zeer effectief middel om de differentiaalvergelijkingen voor de overgangswaarschijnlijkheden te vinden.
Samenhangend met het bovenstaande hebben kwantum theorieen met niet-commutatieve meetkunde veel aandacht gekregen. Vele eenvoudige benaderingen zijn beschouwd, doorgaans gebaseerd op deformaties van kanonieke commutatieregels voor positie en momentum operatoren. In het kader van Wigner Quantum Systems (WQS) is de aanpak meer fundamenteel. Het is essentieel gebaseerd op het vereiste dat Hamilton’s vergelijkingen en de Heisenberg vergelijkingen identiek zouden moeten zijn als operatorvergelijkingen in de toestandsruimte (Hilbert ruimte), hetgeen aanleiding geeft tot zekere compatibiliteitsvoorwaarden. Deze aanpak leidt, bijvoorbeeld for het oscillator model, tot verbanden met Lie superalgebras, omdat de compatibiliteitsvoorwaarden (doorgaans drievoudige operator-identiteiten met anti-commutatoren) een natuurlijke oplossing in termen van Lie superalgebras hebben.
De belangrijkste themas zijn de volgende:
1 Het spectrum van random matrices, kritiek gedrag en faseovergangen
2 Transport en fluctuatietheorie
3 Kwantum dynamische systemen, dynamische entropieen en semiklassieke methoden
4 Statistische mechanica van complexe dynamische systemen, transporteigenschappen en relaxatie in Hamiltoniaanse dynamische systemen en zelfgeorganiseerde kritiekheid.
5. Integreerbaarheid en niet-integreerbaarheid van Hamiltoniaanse systemen, meester-symmetrieen, kleine dispersie KdV vergelijking en uitbreidingen van de Tracy-Widom verdeling.
Het betreft grote open gebieden die in volle ontwikkeling zijn en die internationaal actief beoefend en gewaardeerd worden. Twee grote Europese projecten zijn gewijd aan deze gebieden: een EU-project (ENIGMA-UCL/KUL) en twee ‘European Science Foundation’ projecten (MISGAM-UCL/KUL en STOCHDYN-ULB). Het doel van dit voorstel is om een netwerk te vormen dat de sterk aanwezige theoretische kennis in Belgie kan bundelen om zo belangrijke vooruitgang te kunnen boeken.
Het team bestaat uit onderzoekers uit departementen wiskunde en natuurkunde van vier universiteiten: Jean Bricmont, Pierre Bielavsky, Luc Haine, Philippe Ruelle, Pierre Van Moerbeke (UCL), Pierre Gaspard (ULB), Mark Fannes Arnoldus Kuijlaars, Christian Maes, Walter Van Assche (KULeuven) en Joris Van der Jeugt (UGent). Deze partners zorgen voor complentaire vaardigheden in een interdisciplinaire omgeving, met tevens gemeenschappelijke doelstellingen.
